Клименко родился 16 ноября 1980 года в городе Макеевка Донецкой области. Окончил Донецкий государственный университет управления по специальности "финансы". В феврале 2010 года получил второе высшее образование – окончил Днепропетровское региональное отделение Национальной академии управления при президенте.
В 1997 – 2005 годах – был на руководящих должностях в коммерческих структурах, в 2005 – 2010 годах – занимал должность заместителя начальника специализированной государственной налоговой инспекции по работе с крупными плательщиками налогов Донецка, а в 2010 году назначен первым заместителем главы ГНА в Донецкой области.