Игорь Кваша родился в Москве в 1933 году. В 1955 году он окончил Школу-студии МХАТ и стал играть в театре. С 1957 года Кваша работал в "Современнике", одним из основателей которого был он сам.
С 1961 года Кваша играл в кино. В частности, он исполнил роль бургомистра в "Том самом Мюнхгаузене", пастора в "Человеке с бульвара Капуцинов" и жреца в "Сердцах трех". Всего его фильмография насчитывает более 50 наименований.